Mathematik

Regression

Gauß hat einen mathematischen Algorithmus entwickelt, der es erlaubt, die zu ermittelnden Koeffizienten in einer Regressionsfunktion rechnerisch zu ermitteln. Allerdings ist dieses Verfahren nur für Polynomfunktionen (oder Funktionen, die sich auf eine Polynomfunktion durch Transformation zurückführen lassen) geeignet, weil ansonsten das dabei aufzustellende Gleichungssystem mit der uns bekannten Algebra nicht lösbar ist.

Die Herleitung der vier Koeffizienten für eine kubische Regressionsfunktion ist sehr Aufwendung, weil das Gleichungssystem aus 4 Gleichungen besteht, das mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden muss.

Das nachfolgende Tool beschränkt sich auf 60 Wertepaare, die händisch eingetragen oder auch reinkopiert werden können. Die Anzahl der Wertepaare kann auch erhöht werden, dann sollten Sie sich bei mir melden. Die quadratische Regression kann bei mir auch angefragt werden.

Ein weiteres Schmankerl sind die Gleichungen zur Berechnung der Koeffizienten für die lineare, quadratische und kubische Regressionsfunktion. In meinem Buch „Eindimensionale instationäre Wärmeleitung in ruhenden und einfachen Körpern“, welches im Jahr 2021 erworben werden kann, finden Sie noch mehr Informationen zur Regression. Dort werden auch im Anhang die 4 Koeffizientengleichungen zu finden sein.

Der Klappentext des Buches wird wie folgt aussehen.

Hallesches Kalorimeter

(Das Hallesche Kalorimeter)

Die kalorischen Zustandsgrößen von oberflächennahen Erdböden sollen mittels eines eigens dafür generierten Kalorimeters bestimmt werden. Mit dem Halleschen Kalorimeter wird die Anwendung der eindimensionalen, instationären Wärmeleitung verwirklicht und eine Analyse mit einem Tabellenkalkulationsprogramm zur Bestimmung der kalorischen Größen entwickelt. Die eindimensionale, instationäre Wärmeleitung stellt einen Spezialfall der Wärmeleitung dar und soll durch einen Messzylinder und einen Wärmeschrank realisiert werden.

Messzylinder

Jede Bodenprobe hinterlässt im Halleschen Kalorimeter seine individuelle Wärmeflusskurve, die als kalorischer Fingerabdruck bezeichnet werden kann, und liefert den Zusammenhang zu der zugrundeliegenden physikalischen Gesetzmäßigkeit respektive dem wissenschaftlichen Ansatz in diesem Analyseverfahren.

Wärmeschrank

Das Hallesche Kalorimeter nebst Software ist das Resultat der Applikation der Fourier`schen Differentialgleichung.

Für diesen Sonderfall (homogener Zylinder sowie der Invarianz von parametrisierten Größen) existiert die folgende modifizierte Fourier´sche Differentialgleichung.

Mit Verwendung der Größen in dimensionsloser Form lässt sich die partielle Differentialgleichung wie folgt darstellen.

Der Separationsansatz von Bernoulli dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen und liefert bei dessen Anwendung unter Berücksichtigung der Anfangswertprobleme die allgemeine Gleichung. Der Lösungsweg von der obenstehenden Differentialgleichung bis zur nachstehenden Gleichung wird in dem Fachbuch „Eindimensionale instationäre Wärmeleitung in ruhenden und einfachen Körpern“ (Autor J. Laske) in anschaulicher Weise aufgezeigt.

Temperaturzunge

Modell der „Eindimensionalen instationären Wärmeleitung“

Im kartesischen Koordinatensystem liegt die Grundfläche des senkrechten Kreiszylinders auf der x-y-Ebene respektive auf der Polarebene. Die Mittelachse des Zylinders beginnt im Koordinatenursprung und ist die z-Achse, die senkrecht zur x-y-Ebene steht. Legt man parallel von der Mittelachse bis zum Außenmantel auf einer Ebene unendlich viele Geraden und lässt sie um die Zylinderachse rotieren, erhält man aneinanderreihende Zylinderringe, die den Vollzylinder ergeben. Jeder für sich betrachtete Zylinderring hat zum Zeitpunkt t komplett die gleiche Temperatur, die nun eine Eindimensionalität zulässt. Daraus folgt, dass jede senkrechte Strecke (Strecke = Zylinderradius R) von der Zylinderachse, egal in welchem Winkel und in welcher Höhe, ein deckungsgleiches Temperaturprofil hat, das von der instationären Wärmeleitung geprägt wird. Der thermische Vorgang ist somit eindimensional und vereinfacht die Modellbildung.

Das Hallesche Kalorimeter zielt auf die Verwendung verschiedenster Materialien hin, die sich nicht nur auf Lockergesteinsböden beschränken sondern auch auf Schüttstoffe jeglicher Art.

Temperaturprofil